西三数学サークル通信41号

ランチェスターの法則・・・・・・・・・・・・・・・山田（知立高校）

　山田先生がサークルで口頭で発表された内容をもとに、インターネットで調べてみました。
ランチェスターの法則は、イギリスの航空工学のエンジニア、F.W.Lanchester(1868～1946)
が第一次世界大戦の空中戦のデータを解析して提案した理論です。ランチェスターの法則
には一次法則と二次法則の２つあり、それぞれ、頭の理屈で数学モデルを作った後、実戦
のデータでその正しさを検証したものです。
ランチェスターの一次法則
　X軍とY軍が戦います。兵士の数はX軍がｘ0 , Y軍がｙ0 とします。戦いの原則は一騎打ち
で、Y軍の兵士１名が戦死するごとに、X軍の兵士がE名戦死したとします。
　ある時間が経過した後、X軍の人数をｘ、Y軍の人数をｙとすると、
　X軍の戦死者の数＝ｘ0－ｘ、Y軍の戦死者の数＝ｙ0―ｙですがX軍の戦死者数はＹ軍のE
倍であるから、ｘ0－ｘ＝E(ｙ0―ｙ)
ランチェスターの二次法則
二次法則はチーム戦です。ｘ名のX軍とｙ名のY軍が戦います。Y軍の銃はX軍の銃のE倍の
弾を発射出来るものとする。戦いの短い時間の間にＸ軍の人数はdxだけ減り、Y軍の
人数はdyだけ減るとする。dxはY軍から飛んでくる弾数に比例し、その弾数はY軍の人数の
Ｅ倍に比例するから、
　－dx＝kＥy（kは比例定数）・・・①
また、dyはX軍から飛んでくる弾数に比例し、その弾数はX軍の数に比例するから
－dy＝kx・・・②　
ここで、②を①で割ると、
dy/dx＝x/Ey　従って、xdx＝Eydy
両辺を積分して　
ｘ2＝Eｙ2＋Ｃ（Ｃは積分定数）
戦いが始まる前の両軍の人数をｘ0 , ｙ0 とすると、
Ｃ＝(ｘ0)2－E(ｙ0)2
となるから、
(x0)2－x2＝E{(ｙ0)2－y2}・・・③
③はランチェスターの２乗法則と呼ばれるもので、企業戦略にも用いられている。

　「長沼伸一郎presentsパスファイダー物理学（http://pathfind.motion.ne.jp）」には式を使わ
ずにランチェスターの２乗法則が説明されているので、紹介します。
　今、全く同一の性能の戦艦からなる青軍、赤軍の艦隊が並んで撃ち合うことを考える。最
初、青軍が10隻、赤軍が６隻で射撃を始め、赤軍が全部沈むまで戦闘が続いたとするなら
ば、青軍の側は何隻残るだろうか。
　青軍、赤軍の各艦が、１隻あたり30発の砲弾を発射したとして、その全弾が相手側に等分
に命中したとする。この場合、青軍10隻が発射した砲弾の総数は30×10＝300発、赤軍６隻が
発射した砲弾の総数は30×６＝180発である。各艦が何発被弾したかを見ると青軍は１隻あ
たり180÷10＝18発、赤軍は１隻あたり300÷６＝50発となる。
この青軍と赤軍の被弾の比 18：50は６2：102の比に等しい。すな

なぜ、両艦隊は、互いに相手の１艦に集中攻撃するか?

　ランチェスターの法則のシュミレーションです。
全く同一の性能の艦隊からなる白丸艦隊○と黒丸艦隊●が並んで撃ち合うことを考える。
白丸艦隊○は５隻、黒丸艦隊●は4隻が向かい合って、全部沈むまで戦闘が続いたとする。
１隻あたり２０発の被弾で沈没とする。

① 白丸艦隊、黒丸艦隊ともに全部へ攻撃
１回目の攻撃で白軍の被弾は各隻4/5発、　 16回目の攻撃で白軍の被弾は各隻64/5発、
黒軍の被弾は各隻5/4　　　　　　　　　　　黒軍の被弾は各隻20発だから全隻沈没
○ ○　○　○　○　　　　　　　　　　　　○　○　○　○　○

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　 ● ● ● ●　　　　　　　　　　　　　　×　×　×　×

② 白丸艦隊は１隻ずつ集中攻撃、黒丸艦隊は全部へ攻撃
１回目の攻撃で白軍の被弾は各隻4/5発、　　２回目の攻撃で白軍の被弾は各隻8/5発
左端の黒軍の１隻の被弾は5発左端の黒軍の１隻は沈没
○ ○　○　○　○　　　　　　　　　　　　○　○　○　○　○

●　●　●　●　　　　　　　　　　　　　　×　●　●　●

4回目の攻撃で白軍の被弾は各隻14/5　　　　8回目の攻撃で白軍の被弾は各隻20/5
発、黒軍は２隻目が沈没　　　　　　　　　　　発、黒軍は全隻沈没
○ ○　○　○　○　　　　　　　　　　　　　○　○　○　○　○

　　 ×　× ● ●　　　　　　　　　　　　　　　　×　×　×　×

③ 白丸艦隊は１隻ずつ集中攻撃、黒丸艦隊も１隻ずつ集中攻撃
１回目の攻撃で左端の白軍の１隻の被弾　　　　２回目の攻撃で左端の白軍の１隻の被
は４発、左端の黒軍の１隻の被弾は5発　　　弾は８発、左端の黒軍の１隻は沈没
○ ○　○　○　○ 　　　　　　　　　　　　　○　○　○　○　○

　●　●　●　●　　　　　　　　　　　　　　　　×　●　●　●

３回目の攻撃で左端の白軍の１隻は沈没　　　　10回目の攻撃で白軍は２隻は沈没
左端の黒軍の１隻の被弾は5発　　　　　　　　黒軍は全隻沈没
　×　○　○　○　○　　　　　　　　　　　　　　　×　×　○　○　○

　　×　●　●　●　　　　　　　　　　　　　　　　　　×　×　×　×
　お互い１隻ずつ集中攻撃すれば、白軍が隻残る。

④ 白丸艦隊は全部へ攻撃、黒丸艦隊は１隻ずつ集中攻撃
１回目の攻撃で白軍の左端の１隻の被　　　　　５回目の攻撃で白軍は１隻は沈没
弾は４発、黒軍の被弾は各隻5/4発　　　　　　黒軍の被弾は各隻25/4発
○ ○　○　○　○　　　　　　　　　　　　　　×　○　○　○　○

　　● ● ● ●　　　　　　　　　　　　　　　　　●　●　●　●

10回目の攻撃で白軍は２隻目が沈没　 25回目の攻撃で白軍は全隻沈没
黒軍の被弾は各隻45/4発　　　　　　　　　　黒軍の被弾は各隻75/4発
　×　×　○　○　○　　　　　　　　　　　　　　　×　×　×　×　×

　　●　●　●　●　　　　　　　　　　　　　　　●　●　●　●

　このことから、全隻へ均等に攻撃するのでなく、１隻ずつ集中攻撃した方が良いこと
がわかる。また、この法則が成り立つとすれば、一億人の国民がバラバラならば、1万
人の軍隊で治めることが出来る。
　サークルでは、『４０人のクラスでは、６人が団結すれば、クラスをまとめることができる』、
『受験勉強も多教科をまんべんなく取り組むのではなく、１教科ずつ取り組んだ方が効果
的である』といった意見が出されました。

おもちゃ『屋台のとおる町』・・・・・・・・・中村（刈谷高校）

　下左の画像は「Do nothing」というおもちゃで、取っ手の部分を回転させるとスライダーの
部分が溝に沿って左右、上下に移動します。そして、取っ手の部分は楕円を描きます。
　下右の画像はスライダーの上に屋台が載っている高山のおみやげです。