西三数学サークル通信３６号

三　山　く　ず　し・・・・・・・・竹中芳夫（衣台高校）

三つの山に碁石が積んである。次のルールに従って２人で交互に石を取っていく。
ルール
�@ 一度に二つ以上の山から石を取ることは出来ない。
�A １つの山からはいくつ石を取ってもよい。
�B 必ず１つ以上の石を取らなければならない。
�C 最後の石を取ったものが、勝ち。（取る石がなくなった方が負け）

後手必勝形（この形にすれば相手がどう取っても勝つことができる）

（１，１，０）　　（ｍ，ｍ，０）　　（１，２，３）　　（１，４，５）
（１，６，７）　　（２，４，６）　　（２，５，７）　　（３，４，７）
（３，５．６）　　（３，９，１０）などがある。

後手必勝形の数を二進法で表してみる。
　　　　　　　　　１・・・　 １　　　　　　　　　 　　　 ３・・・　　 １ １
（１，２，３）→　２・・・１ ０　　　（３，９，10）→　 ９・・・１ ０ ０ １
　　　　　　　　　３・・・１ １　　　　　　　　　　　　 10・・・１ ０ １ ０
　　　　　　　　　　　　偶偶　　　　　　　　　　　　　　　 偶偶偶偶
二進法で表した各桁の和はすべて偶数になっている。
（これを完全な局面といい、奇数が入っている場合を不完全な局面という。）

1 完全な局面からは、どのような取り方をしても必ず不完全な局面が残る。

完全な局面からは、どれか一つの山から石を取れば、少なくとも１つは、ある桁
において、ただ1つの数字が変化するから、不完全となる。
例　（３，９，１０）の10の山から3個取れば、（３，９，７）となり、不完全な局面となる。
　　　　　　　　　　　　３・・・　 　 １ １
　　　（３，９，７）→　９・・・１ ０ ０ １
　　　　　　　　　　　　７・・・　 １ １ １
　　　　　　　　　　　　　　　奇奇偶奇

２　不完全な局面からは適当な山から適当な石を取れば、完全な局面にすることが出来る。

　石の数を二進法で表したとき、奇数の桁の最も高位のものの１を含む山から
和が奇数の桁にあたる数字を1は0に、0は1に変える。そして、その数が残るよ
うに石を取れば完全な局面にすることが出来る。

例　（２，７，１２）は不完全な局面である。奇数の桁の最も高位のものの１を含む山は
１２だから、この山から石を取る。１２を二進法で表し（１２→１１００）、奇数の桁を1は0に、
0は1に変える。１１００→０１０１（　をつけたものが数字の変わった桁）。二進法の０１０１
は十進法で５だから、この数が残るようにすれば完全な局面とすることが出来る。従って、
12の山から７個取り、（２，７，５）とすればよい。

　　　　　　　　　２・・・ 　 　 １ ０　　　　　　　　　　　２・・・ 　 １ ０
（２，７，12）→　７・・・　 １ １ １　　（２，７，１）→　７・・・ １ １ １
　　　　　　　　　12・・・１ １ ０ ０　　　　　　　　　　　５・・・ １ ０ １
　　　　　　　　　　　　 奇偶偶奇　　　　　　　　　　　　　　偶偶偶

　完全な局面からはじめると
（完全な局面）→（不完全な局面）→（完全な局面）→・・・→（ｍ，ｍ，０）と後手必勝となる。

※ （ａ，ｂ，ｃ）において、完全な局面の場合はａ＋ｂ＋ｃは偶数である。
（偶数ならば、すべて完全な局面とはいえない！！）不完全な局面の場合は奇数となる。

【参考文献】
「数学教育叢書３　パズルと数学�T」（松田道雄・明治図書・1858年発行）
　「石とりゲームの数理」（一松　信・森北出版・1981年発行）

放物線と直線とで囲まれた図形の面積・・・丸山（岡崎工業高校）

　2002年の関数教の秋の研究集会で浜先生（下諏訪向陽高校）が教具を使って発表
された教材を広田さん（刈谷高校）がサークルで発表した内容を丸山さんがまとめました。