「数学教室」（国土社）2012年 4月号に市川良先生が、
“正方形引き算”という授業プリントが紹介されている。
【やり方】（右図を参照）
１．正方形の各頂点に任意の数を置く。
２．隣り合う数どうしを引いてその絶
対値を隣り合う頂点の中点に置く。
３．その中点を新たな正方形の頂点と
し、同様の計算を行う。
４．以上の事を繰り返す。
西三数学サークル通信114号
正方形引き算とドゥッチ数列・・・・・・・・・・・・水谷
| 「数学教室」（国土社）2012年 4月号に市川良先生が、 “正方形引き算”という授業プリントが紹介されている。 【やり方】（右図を参照） １．正方形の各頂点に任意の数を置く。 ２．隣り合う数どうしを引いてその絶 対値を隣り合う頂点の中点に置く。 ３．その中点を新たな正方形の頂点と し、同様の計算を行う。 ４．以上の事を繰り返す。 |
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【正方形の場合結果は常に０となる】
実は正方形の場合、任意の正の整数を置いても常に最終的に0となる事が数学
的にも証明されている。(「数学教室」6月号
木村良夫先生の投稿参照)
その後、野崎昭弘先生とともに正方形をＮ角形に拡張したらどうなるだろうか
という拡張について共同研究を着手した。
実はこうした発想は19世紀にイタリアの数学者E.
Ducciがこの正方形引き算
の元となる問題を作り、それ以降N角形に拡張された場合を含めてこの引き算に
よってできる数列はドゥッチ数列と呼ばれている。更に「必ずいつかはオール０
になる」のはNが２のべき乗の場合である事が昔から知られており、その事を証
明する多くの論文も書かれてきている。(実際に証明されたのかは不明)。
一方でNが８や１６のような４以上のより大きな２のベキ乗となってくると、
「いつかは終わる」といっても「いつ終わるか」がはっきりとしない。そこで面白
い条件を課すことによって次の予想が生まれた。
| 予想 Ｎが（4,
8, 16など）２のベキ乗で、かつ隣り合うどの３つの頂点 の数A, B, Cも、どの再帰計算においても必ず A≦C≦B, A≧C≧B, B≦A≦C, B≧A≧C のいずれかであれば、整数から始めるＮ角形引き算は、Ｎステップまでに 必ずオールゼロになる。 |
| Ｎ角形の頂点に対して正の整数（あるいは実数）a1,
a2, a3,…,an-1, anを順序付け、 隣り合う頂点の数値の差である二項演算の絶対値を[an-1, an] と表す(つまり|an-1 −an|)。 そして次に同じ計算を繰り返すと、例えばa1, a2, a3の場合は|a1 −a2|-|a2−a3|となる わけだが、ただしこの式を展開した値はa1, a2, a3の値によって違ってくる。そこで以 下のような場合分けをする。 多角形の連続した三つの頂点の値をA, B, Cとすれば、このドゥッチ数列の再帰式 は常に以下の３つの場合に分類できる。 i). もし A<B<Cならば, |(B-A)-(C-B)|=|-A+2B-C| ・・・(1) ii). もし A>B>Cならば、 |(A-B)-(B-C)|=|A-2B+C| ・・・(2) iii). もしA≦C≦B, A≧C≧B, B≦A≦C, B≧A≧C ならば((注) A,B,Cの円順列の組み合わせ より、この不等号の関係式はi), ii)の場合を含めて合計６通り)、これは常に引き算 の結果がマイナスには絶対ならないという性質から(そのためオリジナルは辺の長さの 引き算としている)、この場合のみ全て、 |(A-B)-(B-C)|=|A-C|=|C-A| ・・・(3) 現在のところ、N=２，３，５，６，７のときは、循環して０にはならない。 N=４，８，１６のときは予想が正しい事が確認できている。 |
積み木と調和級数・・・・・・・・・・・・・斎藤
